前幾天，一篇加州理工和MIT研究者用ChatGPT證明數學定理的論文爆火，在數學圈引發了極大關注。

英偉達首席科學家Jim Fan激動轉發，稱AI數學Copilot已經到來，下一個發現新定理的，就是全自動AI數學家了！

(資料圖)

紐約時報近日也發文，稱數學家們做好準備，AI將在十年內趕上甚至超過最優秀的人類數學家。

而陶哲軒本人，也轉發了此文。

Siobhan Roberts參加了今年Machine Assisted Proofs舉辦的IPAM研討會，隨后她根據自己的經歷和采訪，寫下了這篇關于AI和數學的文章

AI也來顛覆數學界了！

如今，數學家們不得不正視一股最新的革命性力量——AI。

2019年，谷歌前雇員、現任灣區初創公司員工的計算機科學家Christian Szegedy預測，計算機系統將在十年內趕上或超過最優秀的人類數學家解決問題的能力。而去年，他把目標日期修改為2026年。

卡內基梅隆大學的邏輯學家Jeremy Avigad（藍衣服），與學生在形式化數學暑期學校中

2018年菲爾茲獎得主、普林斯頓高等研究院的數學家Akshay Venkatesh目前還對使用AI不感興趣，但他十分熱衷于討論AI相關的話題。

去年的采訪中，Venkatesh表示，「我希望我的學生意識到，這個領域會發生非常大的變化。」

而最近他的態度是：「我不反對通過深思熟慮、甚至刻意地使用AI，來輔助人類的理解。但我堅信，對于我們使用它的方式，我們需要保持正念，慎之又慎。」

在今年二月，加州大學洛杉磯分校理論與應用數學研究所，曾舉行了一場關于「機器輔助證明」的研討會。

研討會的主要組織者，就是2006年的菲爾茲獎得主、在UCLA任職的數學家陶哲軒。

他指出，用AI輔助數學證明，其實是非常值得關注的現象。

直到最近幾年，數學家才開始擔心AI的潛在威脅，無論是AI對于數學美學的破壞，還是對于數學家本身的威脅。

而杰出的社區成員們，正在把這些問題擺上臺面，開始探索如何「打破禁忌」。

暑期學校的組織者，自左至右：Avigad，Patrick Massot和Heather Macbeth

從歐幾里得幾何原本到計算機代碼

幾千年來，數學家已經早已適應了邏輯和推理的最新進展。不過，他們準備好迎接人工智能了嗎？

洛杉磯蓋蒂博物館中17世紀古希臘數學家歐幾里得的肖像：他衣衫襤褸，舉著自己的幾何論文《元素》

2000多年來，歐幾里得的文本一直是數學論證和推理的范式。

卡內基梅隆大學邏輯學家Jeremy Avigad說，歐幾里得以近乎詩意的「定義」開始，在此基礎上建立了當時的數學——使用基本概念、定義和先前的定理，每個連續的步驟都「清楚地遵循」以前的步驟，以這樣一種方式證明事物。

有人抱怨說，歐幾里得的一些「明顯」的步驟，其實不太明顯，但Avigad博士說，但這個系統奏效了。

但是到20世紀以后，數學家們不愿意再將數學建立在這種直觀的幾何基礎上了。

相反，他們開發了正式的系統，這個系統中有著精確的符號表示和機械的規則。

//kilthub.cmu.edu/articles/journal_contribution/A_Formal_System_for_Euclid_s_Elements/6490703

最終，在這種系統下，數學可以被翻譯為計算機代碼。

1976年，四色定理成為第一個在暴力計算的幫助下被證明的主要定理。

四色定理：四種顏色足以填充地圖，使得沒有兩個相鄰區域顏色相同

會抱怨的AI：抱歉，我看不懂你們的定理

有這樣一個數學小工具，被稱為證明助手，或交互式定理證明器。

數學家會一步一步地將證明轉換為代碼，然后用軟件程序檢查推理是否正確。

驗證過程會累積在一個動態規范參考庫中，其他人都可以查閱。

//www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/formal_turn.pdf

霍斯金森形式數學中心主任Avigad博士說，這種類型的形式化為今天的數學奠定了基礎，就像歐幾里得試圖將那個時代的數學轉碼，從而為其提供基礎一樣。

最近，開源證明助手系統Lean再次引發了大量關注。

Lean是現在的亞馬遜計算機科學家Leonardo de Moura在微軟時開發的。

Lean使用的是自動推理，由老式的AI GOFAI提供支持，這是一個受邏輯啟發的象征式AI。

截至目前，Lean已經驗證了一個將球體從內到外轉動的有趣定理，以及一個統一數學領域方案的關鍵定理。

但是，證明助手也有缺點：它會時常抱怨自己不理解數學家輸入的定義、公理或推理步驟，因此它也被賜名「證明抱怨器」。

這些抱怨會讓研究變得繁瑣，但Fordham大學的數學家Heather Macbeth表示，這類提供逐行反饋的功能，也會讓系統對教學很有用。

//leanprover-community.github.io/courses.html

今年春天，Macbeth博士曾設計了一門「雙語」課程，她將黑板上的每個問題都翻譯成講義中的Lean代碼，學生們需要用Lean和自然語言提交解決方案。

//hrmacbeth.github.io/math2001/

「這給了他們信心，」Macbeth博士說，因為他們會收到即時反饋，關于證明何時完成，以及沿途的每一步是對還是錯。

而在參加研討會后，約翰霍普金斯大學的數學家Emily Riehl也嘗試了一把。

約翰霍普金斯大學的數學家Emily Riehl一直在使用實驗證明輔助程序

她用了一個證明助手小程序，來證明自己此前發表過的文章中的定理。

使用完后，她大為震驚。「我現在很深入得了解了證明的過程，比我之前的理解要深刻得多。我的思路如此清晰，以至于我可以向最蠢的計算機解釋清楚。」

學生們在數學形式化暑期學校期間參加的一個小組項目

暴力推理——這很不「數學」

另一個計算機科學家們經常會用來解決一些數學問題的工具叫做「暴力推理」，但是數學界對于這種方法卻常常嗤之以鼻。

然而，AI科學家們好像并不太在意數學家們的想法，不斷地用他們自己熟悉的辦法，去攻占數學「高地」。

卡耐基梅隆大學的計算機科學家Heule曾經在2016年用一個200T的「SAT 求解器」文件去解決「布爾畢達哥拉斯三元組問題」。

//cacm.acm.org/magazines/2017/8/219606-the-science-of-brute-force/fulltext

《自然》雜志在文章中卻說到：200T的證明是史上最大的證明過程，用這些工具解決問題是否真的算數學？

但是在解決問題的論文作者本人，計算機科學家Heule看來，「這種方法是解決超過人類能力范圍的問題所必須的。」

同樣的，在國際象棋比賽中戰勝了人類（AlphaZero）之后，DeepMind又設計了機器學習算法來解決蛋白質折疊（AlphaFold）。

DeepMind發表了一篇論文，認為他們取得這些成果的方式，是通過AI來引導人類的直覺，從而推進數學發展。

//www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

而一位前谷歌計算機科學家，現在正在灣區創業的Yuhuai Wu也表示，自己的創業的方向就是利用機器學習來解決數學問題。

他目前的項目，Minerva，就是一個用來解決數學模型的微調大語言模型。

未來，他希望這個項目能成長為一個「自動化數學家」，可以作為一個通用研究助理來「獨立解決數學問題」。

數學是一個試金石

另一方面，很多深度接觸過AI技術的數學家也對AI在數學研究中不被重視提出了擔心。

他們認為，人工智能技術經常能夠「直接地」幫助數學家們「找到」自己想要的答案。

雖然數學家或者AI專家們都搞不清楚AI是如何找到這個答案的。

與DeepMind合作過的數學家Geordie Williamson曾經分享了一段與DeepMind合作的經歷。

他在和DeepMind合作的過程中，DeepMind發現的一個神經網絡可以預測他認為很重要的數據值，而且異常準確。

他就很努力地去試圖理解AI是如何做到的，因為這可能成為一個定理的基礎。

但他最后還是沒辦法搞懂AI的邏輯，而且DeepMind的人也沒法做到。

就像歐幾里得一樣，神經網絡以某種方式找到了真理，但是邏輯原因卻很難被理解。

另一方面，從這位數學家的角度看來，推理是數學的精髓，但卻是機器學習中一直缺少的一塊拼圖。

在科技圈中，如果有一個黑箱在大部分情況下都能提供解決問題的方法，科技圈就會非常滿足了。

AI就是這樣一個黑箱。

但是數學家們卻不會滿足于這種狀況。

這位數學家看來，嘗試理解神經網絡的原理會引發出令人著迷的數學問題。

而解決這些問題，會讓數學家「為世界做出有意義的貢獻」。

假如AI能證明數學定理

網友對此發出靈魂拷問，我對AI系統提出新的假設/公式是第一步有所懷疑，因為DeepMind早已在紐結理論中做到了。

我想知道，社區將如何應對AI輸出的大量新假設。check人工智能創建的邏輯論點是一回事；被數百萬個「哦，這可能是真的」建議淹沒是另一回事。我不認為我們現有的評論和出版系統為此做好了準備。

這會對人們對數學的信任產生什么影響？

有人認為，機器并不能很快就能完成數學研究，但可以看到它改變了研究方式，就像機器學習模型和計算能力如何改變了生物學領域一樣。

還有網友表示，從AlphaDev開始，我就一直在思考這個問題，但是同樣的程序可以構建排序算法，也可以使用自動證明檢查器來證明數學定理。真正的問題是它是否可以用來證明一些重要的東西，而不僅僅是微不足道的發現。

不過還是有網友依然對GPT類的工具能否真的發現有價值的真理持懷疑態度。

也有網友指出，可能人類和AI對于數學理解和關注本就有區別，AI證明了什么是真的，而人類總是關注為什么它是真的。

本文來源：新智元，原文標題：《陶哲軒轉贊！ChatGPT自動證明重大突破，10年后AI將稱霸數學界》

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